题目描述(简单难度)

给定一个数,求出一个数的阶乘末尾有多少个 0。

解法一

之前小红书面试的时候碰到的一道题,没想到又是 leetcode 的原题。这种没有通用解法的题,完全依靠于对题目的分析理解了,自己当时也是在面试官的提示下慢慢出来的,要是想不到题目的点,还是比较难做的。

首先肯定不能依赖于把阶乘算出来再去判断有多少个零了,因为阶乘很容易就溢出了,所以先一步一步理一下思路吧。

首先末尾有多少个 0 ,只需要给当前数乘以一个 10 就可以加一个 0

再具体对于 5!,也就是 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120,我们发现结果会有一个 0,原因就是 25 相乘构成了一个 10。而对于 10 的话,其实也只有 2 * 5 可以构成,所以我们只需要找有多少对 2/5

我们把每个乘数再稍微分解下,看一个例子。

11! = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 11 * (2 * 5) * 9 * (4 * 2) * 7 * (3 * 2) * (1 * 5) * (2 * 2) * 3 * (1 * 2) * 1

对于含有 2 的因子的话是 1 * 2, 2 * 2, 3 * 2, 4 * 2 ...

对于含有 5 的因子的话是 1 * 5, 2 * 5...

含有 2 的因子每两个出现一次,含有 5 的因子每 5 个出现一次,所有 2 出现的个数远远多于 5,换言之找到一个 5,一定能找到一个 2 与之配对。所以我们只需要找有多少个 5

直接的,我们只需要判断每个累乘的数有多少个 5 的因子即可。

public int trailingZeroes(int n) {
    int count = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int N = i;
        while (N > 0) {
            if (N % 5 == 0) {
                count++;
                N /= 5;
            } else {
                break;
            }
        }
    }
    return count;

}

但发生了超时,我们继续分析。

对于一个数的阶乘,就如之前分析的,5 的因子一定是每隔 5 个数出现一次,也就是下边的样子。

n! = 1 * 2 * 3 * 4 * (1 * 5) * ... * (2 * 5) * ... * (3 * 5) *... * n

因为每隔 5 个数出现一个 5,所以计算出现了多少个 5,我们只需要用 n/5 就可以算出来。

但还没有结束,继续分析。

... * (1 * 5) * ... * (1 * 5 * 5) * ... * (2 * 5 * 5) * ... * (3 * 5 * 5) * ... * n

每隔 25 个数字,出现的是两个 5,所以除了每隔 5 个数算作一个 5,每隔 25 个数,还需要多算一个 5

也就是我们需要再加上 n / 255

同理我们还会发现每隔 5 * 5 * 5 = 125 个数字,会出现 35,所以我们还需要再加上 n / 125

综上,规律就是每隔 5 个数,出现一个 5,每隔 25 个数,出现 25,每隔 125 个数,出现 35... 以此类推。

最终 5 的个数就是 n / 5 + n / 25 + n / 125 ...

写程序的话,如果直接按照上边的式子计算,分母可能会造成溢出。所以算 n / 25 的时候,我们先把 n 更新,n = n / 5,然后再计算 n / 5 即可。后边的同理。

public int trailingZeroes(int n) {
    int count = 0;
    while (n > 0) {
        count += n / 5;
        n = n / 5;
    }
    return count;
}

更偏向于数学题,主要是对问题的归纳总结。

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